Question

已知函数f(x)＝2x＋alnx．

(1)若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求a的范围

(2)若a＜0，对于任意两个正数x₁、x₂总有：

(3)若存在x∈[1，e]，使不等式f(x)≤(a＋3)x－x²成立，求实数a的取值范围

Answer 1

答案：
解析：

(1)当x≥1时，只需2＋a≥0即a≥－2 　　(2)作差变形可得： 　　＝　　(*) 　　x1＞0，x2＞0　从而 　　∴ln，又a＜0　∴(*)式≥0 　　即(当且仅当x1＝x2时取“＝”号) 　　(3)可化为： 　　x 　　∴lnx≤1≤x，因等号不能同时取到，∴lnx＜x，lnx－x＜0 　　∴a≥ 　　令，x， 　　＝ 　　x，∴lnx－1－＜0，且1－x≤0 　　从而，，所以g(x)在x上递增，从而＝g(1)＝－ 　　由题设a≥－ 　　即存在x，不等式f(x)≤(a＋3)－能成立且a