题目内容
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，
PA⊥
底面 ABCD，PA=AD=DC=
AB=1，M是PB的中点．
（1）求证：CM∥平面PAD；
（2）求证：BC⊥平面PAC．
PA⊥
底面 ABCD，PA=AD=DC=| 1 | 2 |
（1）求证：CM∥平面PAD；
（2）求证：BC⊥平面PAC．
分析：（1）取PA中点N，连MN，DN，通过证明四边形MNDC 是平形四边形，证明CM∥AD．
（2）取AB中点H，则四边形ADCH为正方形，证明BC⊥AC，PA⊥BC以及PA∩BC=A，推出BC⊥平面PAC．
（2）取AB中点H，则四边形ADCH为正方形，证明BC⊥AC，PA⊥BC以及PA∩BC=A，推出BC⊥平面PAC．
解答：解：（1）取PA中点N，连MN，DN
∵MN是△PAB的中位线，所以MN平行且等于
AB…（1分）
又∵DC平行且等于
AB，∴MN平行且等于DC…（2分）
∴四边形MNDC 是平形四边形…（3分）
∴CM∥ND…（4分）
又∵ND?平面PAD，CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD…（6分）
（2）取AB中点H，则四边形ADCH为正方形
∴BC2=CH2+HB2=2…（7分）
△ADC中，AC2=AD2+CD2=2…（8分）
∵AC2+BC2=4=AB2，∴BC⊥AC…（10分）
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC…（11分）
又∵PA∩BC=A，∴BC⊥平面PAC…（12分）
∵MN是△PAB的中位线，所以MN平行且等于
| 1 |
| 2 |
又∵DC平行且等于
| 1 |
| 2 |
∴四边形MNDC 是平形四边形…（3分）
∴CM∥ND…（4分）
又∵ND?平面PAD，CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD…（6分）
（2）取AB中点H，则四边形ADCH为正方形
∴BC2=CH2+HB2=2…（7分）
△ADC中，AC2=AD2+CD2=2…（8分）
∵AC2+BC2=4=AB2，∴BC⊥AC…（10分）
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC…（11分）
又∵PA∩BC=A，∴BC⊥平面PAC…（12分）
点评：本题考查直线与直线的平行，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查逻辑推理能力．
练习册系列答案
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