题目内容
已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），且|AF|+|BF|=8，线段AB的中垂线恒过定点Q（6，0），求此抛物线的方程．分析：由抛物线的定义，知：|AF|+|BF|=x1+
+x2+
=x1+x2+p=8，所以x1+x2=8-p．由点Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上，知|QA|=|QB|，由此能求出抛物线的方程．
| p |
| 2 |
| p |
| 2 |
解答：解：由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|=x1+
+x2+
=x1+x2+p=8
∴x1+x2=8-p．
∵点Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上，
∴|QA|=|QB|即：（x1-6）2+y12=（x2-6）2+y22，
又∵y12=2px1，y22=2px2，
∴（x1-6）2+2px1=（x2-6）2+2px2，
整理得：（x1-x2）（x1+x2-12+2p）=0．
∵x1≠x2∴x1+x2-12+2p=0即：x1+x2=12-2p=8-p
解得：p=4，
∴抛物线的方程为y2=8x．
| p |
| 2 |
| p |
| 2 |
∴x1+x2=8-p．
∵点Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上，
∴|QA|=|QB|即：（x1-6）2+y12=（x2-6）2+y22，
又∵y12=2px1，y22=2px2，
∴（x1-6）2+2px1=（x2-6）2+2px2，
整理得：（x1-x2）（x1+x2-12+2p）=0．
∵x1≠x2∴x1+x2-12+2p=0即：x1+x2=12-2p=8-p
解得：p=4，
∴抛物线的方程为y2=8x．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
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