Question

在直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，点A为椭圆的左顶点，椭圆上的点P在第一象限，PF₁⊥PF₂，⊙O的方程为x²+y²=4
（1）求点P坐标，并判断直线PF₂与⊙O的位置关系；
（2）是否存在不同于点A的定点B，对于⊙O上任意一点M，都有为常数，若存在，求所以满足条件的点B的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用PF₁⊥PF₂，以及点P在椭圆上联立即可求点P坐标以及直线PF₂的方程，再利用圆心到直线的距离和半径相比即可判断直线PF₂与⊙O的位置关系；
（2）假设存在，代入为常数利用等式对所有的点M成立来求满足条件的点B的坐标．
解答：解：（1）设点P坐标（m，n），因为PF₁⊥PF₂，所以有=0故有⇒．
又因为点P在第一象限
所以P（，）．
故=-2．直线PF₂的方程为2x+y-2=0．
又因为（0，0）到直线PF₂的距离d=2=r．
故直线PF₂与⊙O的位置关系是相切．
（2）设B（a，b），M（x，y），为常数，⇒（x-a）²+（y-b）²=k（x+3）²+ky²．又因为x²+y²=4．
所以有4-2ax-2by+a²+b²-4k-6kx-9k=0⇒x（-2a-6k）-2by+a²+b²+4-13k=0．对所有x，y都成立，所以 ⇒或
又因为定点B不同于点A，故所求点B为（-，0）．
点评：本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当判断直线与圆的位置关系时，可以利用圆心到直线的距离与半径的大小相比求解．，也可以把直线与圆的方程联立利用对应方程的判别式与0的大小关系求解．