Question

已知函数f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（a）+2且对于任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调递减，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若关于x的方程

1

2

f(x)=4lnx-k在[1，e]上恰有两个相异实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先表示出F（x）的表达式，再根据对任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0，我们可以求出b的值，进而可确定函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）将（Ⅰ）中求出的函数f（x）的解析式代入函数g（x）然后求导，将问题转化为g′（x）≤0在（0，1）上恒成立，再利用分离参数法，我们就可以求实数a的取值范围；
（Ⅲ）构造函数h(x)=4lnx-

1

2

f(x)-k=4lnx-

1

2

x2+1-k，可以得出h（x）在[1，2）上单调递增，在[2，e]上单调递减，为了使方程

1

2

f(x)=lnx-k在[1，e]上恰有两个相异实根，只须h（x）=0在[1，2）和（2，e]上各有一个实根，可求k的范围

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+2
∴F（x）=x²+bsinx
依题意，对任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0
即x²-bsinx=x²+bsinx，
即2bsinx=0对于任意实数x都成立，
∴b=0
∴f（x）=x²-2．…（4分）
（Ⅱ）∵函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx，
∴g（x）=x²+2x+alnx，得g′(x)=2x+2+

a

x

 (x＞0)
∵函数g（x）在（0，1）上上单调递减，
∴在区间（0，1）上，g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．…（7分）
即2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．
∴a≤-（2x²+2x）在（0，1）上恒成立．
而u（x）=-（2x²+2x）在（0，1）上单调递减
∴a≤-4．…（9分）
（Ⅲ）令h(x)=4lnx-

1

2

f(x)-k=4lnx-

1

2

x2+1-k，
∴h′(x)=

4

x

-x
令h′(x)=

4

x

-x=0，解得x=±2
∵x＞0，∴x=2
当0＜x＜2时，h′（x）＞0；当x＞2时，h′（x）＜0；
即h（x）在[1，2）上单调递增，在[2，e]上单调递减…（11分）
为了使方程

1

2

f(x)=lnx-k在[1，e]上恰有两个相异实根，只须h（x）=0在[1，2）和（2，e]上各有一个实根，
于是有

h(1)≤0 h(2)＞0 h(e)≤0

，即

k≥ 1 2 k＜4ln2-1 k≥5- 1 2 e2

解得 5-

1

2

e2≤k＜4ln2-1
所以实数k的取值范围是[5-

1

2

e2，4ln2-1)．…（14分）

点评：本题主要考查了利用奇函数的性质求函数的解析式，，函数的恒成立问题的求解常利用分离参数法解决，而函数的构造是求解本题的关键．