题目内容
已知函数
，其中
为常数，
为自然对数的底数.
（1）求
的单调区间；
（2）若
，且在区间
上的最大值为
，求的值；
（3）当
时，试证明：
.
（1）单调增区间为
，单调减区间为
；（2）
；（3）证明过程详见解析.
解析试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值、不等式等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，讨论
的正负来求单调性，利用导数大于0或小于0，通过解不等式来求函数的单调性；第二问，讨论
方程的根与已知区间的关系，先判断函数的单调性，再求最值，列出方程解出的值；第三问，证明“
”两边的两个函数的最值，来证明大小关系.
试题解析：（1）
1分
当
时，
恒成立，故的单调增区间为
3分
当
时，令解得
，令
解得
，故的单调增区间为，的单调减区间为 5分
（2）由（I）知，
①当
，即
时，
在
上单调递增，∴
舍； 7分
②当
，即
时，在
上递增，在
上递减，
，令
，得 9分
（Ⅲ）即要证明
， 10分
由（Ⅰ）知当
时，
，∴
， 11分
又令
，
， 12分
故
在
上单调递增，在
上单调递减， 13分
故
14分
即证明.
考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.利用导数求函数最值.
练习册系列答案
相关题目
.
时，求函数
的最大值；
其图象上任意一点
处切线的斜率
恒成立，求实数
的取值范围；
，
，方程
有唯一实数解，求正数
的值.
时，求函数
的最大值；
（
）其图象上任意一点
处切线的斜率
≤
恒成立，求实数
的取值范围；
，
，方程
有唯一实数解，求正数
的值．
试确定函数
的单调区间；
且对于任意
恒成立，试确定实数
的取值范围；
求证：
.
.
在
处取得极值，且函数
的取值范围.
上不是单调函数，求
的取值范围.
的图象关于原点对称，当
时，
，求
的解析式。
，
上的单调函数，求
的取值范围
。
时，求函数
的单调区间；
时，对所有的
都有
成立.
，
，且
在点（1，
）处的切线方程为
。
的单调递增区间；
，若方程
有且仅有四个解，求实数a的取值范围。
，
的周期和对称中心；
上值域.