题目内容
如图，P—ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF—ABC与棱锥P—ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)
(1)证明：P—ABC为正四面体；
(2)若PD=
PA, 求二面角D—BC—A的大小；(结果用反三角函数值表示)
(3)设棱台DEF—ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF—ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.
答案：
解析：
解析：
【证明】(1) ∵棱台DEF—ABC与棱锥P—ABC的棱长和相等, ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF. 又∵截面DEF∥底面ABC, ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P—ABC是正四面体. 【解】(2)取BC的中点M,连拉PM,DM.AM. ∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM, 则∠DMA为二面角D—BC—A的平面角. 由(1)知,P—ABC的各棱长均为1, ∴PM=AM=
sin∠DMA=
(3)存在满足条件的直平行六面体. 棱台DEF—ABC的棱长和为定值6,体积为V.
设直平行六面体的棱长均为
则该六面体棱长和为6, 体积为
∵正四面体P—ABC的体积是 故构造棱长均为
|
,
,∴∠DMA=arcsin
.
,
sinα=V.
,∴0<V<
,0<8V<1.
,
练习册系列答案
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如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）
如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）
求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
PA，求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）