题目内容

函数f（x）对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=
1
2
成立．
（Ⅰ）求和f(
1
n
)+f(
n-1
n
)（n∈N*）的值；
（Ⅱ）数列{an}满足条件；an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)，试证：数列{an}是等差数列．
分析：（Ⅰ）由f（x）对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=
1
2
成立可令x=
1
n
，则可求f(
1
n
)+f(
n-1
n
)
（Ⅱ）由an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)可得an=f(1)+f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…+f(
1
n
)+f(0)，利用倒序相加可求an，进而可证数列{an} 是等差数列．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=
1
2
成立
∴f(
1
2
)=
1
4
，令x=
1
n
，则有f(
1
n
)+f(1-
1
n
)=
1
2
，即f(
1
n
)+f(
n-1
n
)=
1
2
（Ⅱ）∵an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)
∴an=f(1)+f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…+f(
1
n
)+f(0)
两式相加可得，2an=[f(0)+f(1)]+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+[f(
2
n
)+f(
n-2
n
)]+… +[f(
n-1
n
)+f(
1
n
)] +[f(1)+f(0)]=
n+1
2
．
所以数列{an} 是等差数列．
点评：本题主要考查了利用赋值求抽象函数的函数值及利用倒序相加求解数列的和的方法的应用，要注意该方法是推倒等差数列的求和公式的方法．
练习册系列答案
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设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x≠0时，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）试问：在-2≤x≤2时，f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
（3）解关于x的不等式
1
2
f(bx)-f(x)＞
1
2
f(b2x)-f(b)．
已知函数f（x）=x+
a
x
+a，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判断f（x）单调性并证明；
（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
（3）若函数g（x）=xf（x）对任意x∈[2，5]时，g（x）+2x+
3
2
＞0恒成立，求实数a的取值范围．
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2）（a＞0），试证明：
1
2
[f（x1）+f（x2）]＞f（
x1+x2
2
）成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：
①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
②对任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤
1
2
(x-1)2？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．
若定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意x，y∈（0，+∞），都有f（x•y）=f（x）+f（y），且当x＞1时f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（2）=-1，解不等式f（x-2）+f（x）＞-3．
设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x≠0时，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）试问：在-n≤x≤n时（n∈N*），f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
（3）解关于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)≥
1
2
f(b2x)-f(b)，(b＞0)．

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