题目内容
如图，四边形ABCD中，△ABC为正三角形，AD=AB=2，BD=2| 3 |
（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若θ=
| π |
| 3 |
分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理，可证AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用θ=
，可得二面角A-PB-D的余弦值．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用θ=
| π |
| 3 |
解答：
解：（1）证明：由题意，O为BD的中点，则AC⊥BD，
又AC⊥PO，BD∩PO=O，
所以AC⊥平面PBD；
（2）因为AC⊥面PBD，而AC⊆面ABCD，所以面ABCD⊥面PBD，
则P点在面ABCD上的射影点在交线BD上（即在射线OD上），
所以PO与平面ABCD所成的角θ=∠POD=
．
以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴建空间直角坐标系．
则A(1，0，0)，B(0，
，0)，P(0，-
，
)，
因为AC⊥面PBD，所以面PBD的法向量
=
=(1，0，0)，
设面PAB的法向量
=(x，y，z)，又
=(-1，
，0)，
由
⊥
，得-x+
y=0①，又
=(0，
，-
)，
由
⊥
，得
y-
z=0②，
在①②中令y=
，可得x=z=3，故
=(3，
，3)
所以二面角A-PB-D的余弦值cosθ=
=
=
解：（1）证明：由题意，O为BD的中点，则AC⊥BD，又AC⊥PO，BD∩PO=O，
所以AC⊥平面PBD；
（2）因为AC⊥面PBD，而AC⊆面ABCD，所以面ABCD⊥面PBD，
则P点在面ABCD上的射影点在交线BD上（即在射线OD上），
所以PO与平面ABCD所成的角θ=∠POD=
| π |
| 3 |
以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴建空间直角坐标系．
则A(1，0，0)，B(0，
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
因为AC⊥面PBD，所以面PBD的法向量
| n1 |
| OA |
设面PAB的法向量
| n2 |
| AB |
| 3 |
由
| n2 |
| AB |
| 3 |
| PB |
3
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
由
| n2 |
| PB |
3
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
在①②中令y=
| 3 |
| n2 |
| 3 |
所以二面角A-PB-D的余弦值cosθ=
| 3 | ||
1×
|
| 3 | ||
|
| ||
| 7 |
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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