题目内容
4.已知函数f(x)=|2x-3|,若0<2a≤b+1,且f(2a)=f(b+3),则M=3a2+2b+1的取值范围为$\frac{3}{16}$≤M<1.分析 由题意可得|4a-3|=|2b+3|,故4a-3和2b+3互为相反数,解得b=-2a,代入要求的式子可得 M=3a2+2b+1=3a2-4a+1(0<a≤$\frac{1}{4}$),结合二次函数的图象和性质,可得M=3a2+2b+1的取值范围
解答 解:∵f(x)=|2x-3|,f(2a)=f(b+3),也就是|4a-3|=|2b+3|.
因为 0<2a<b+1,所以4a<2b+2,4a-3<2b+3,所以必须有4a-3和2b+3互为相反数.
∴4a-3+2b+3=0,故 b=-2a.
再由0<2a≤b+1可得 0<2a≤-2a+1,即 0<a≤$\frac{1}{4}$.
∴M=3a2+2b+1=3a2-4a+1的图象是开口朝上,且以直线a=$\frac{2}{3}$为对称轴的抛物线,
此函数在(0,$\frac{1}{4}$]上是减函数,
所以M($\frac{1}{4}$)≤T<T(0),
即$\frac{3}{16}$≤M<1,
故答案为:$\frac{3}{16}$≤M<1.
点评 本题主要考查带有绝对值的函数,利用二次函数的单调性求它在某区间上的值域,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
14.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( )
A. | 假设至少有一个钝角 | |
B. | 假设至少有两个钝角 | |
C. | 假设没有一个钝角 | |
D. | 假设没有一个钝角或至少有两个钝角 |
19.下列命题正确的是( )
A. | 垂直于同一条直线的两条直线平行 | B. | 垂直于同一个平面的两条直线平行 | ||
C. | 平行于同一个平面的两条直线平行 | D. | 平行于同一条直线的两个平面平行 |
13.已知角α的终边与以坐标原点为圆心,以1为半径的圆交于点P(sin$\frac{2π}{3}$,cos$\frac{2π}{3}$),则角α的最小正值为( )
A. | $\frac{11π}{6}$ | B. | $\frac{5π}{3}$ | C. | $\frac{5π}{6}$ | D. | $\frac{2π}{3}$ |
14.如图,已知O是坐标原点,B、C两点的坐标分别为(3,-1)、(2,1).若以O为位似中心在y轴左侧将△OBC放大到两倍,得到△OB′C′,则△OB′C′的面积是( )
A. | 20 | B. | 10 | C. | 5 | D. | $\frac{5}{2}$ |