Question

已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为：x-3y-6=0，点T（-1，1）在AD边所在直线上．
（1）求矩形ABCD外接圆的方程；
（2）求矩形ABCD外接圆中，过点G（1，1）的最短弦EF所在的直线方程．

Answer 1

分析：（1）先确定A点的坐标为（0，-2），根据M点是矩形ABCD两条对角线的交点，可得M点（2，0）即为矩形ABCD外接圆的圆心，从而可求圆方程；
（2）当EF⊥MG时，弦BC最短，由此可求直线EF的方程．

解答：解：（1）设A点坐标为（x，y）
∵KAB=

1

3

且 AB⊥AD，
∴K_AD=-3
∵T（-1，1）在AD上，
∴

x-3y-6=0 y-1 x+1 =-3

，
∴

x=0 y=-2

，即A点的坐标为（0，-2）．
又∵M点是矩形ABCD两条对角线的交点
∴M点（2，0）即为矩形ABCD外接圆的圆心，其半径r=|MA|=2

2

∴圆方程为（x-2）²+y²=8
（2）当EF⊥MG时，弦BC最短，
∵K_MG=-1，
∴K_EF=1，所以直线EF的方程为x-y=0．

点评：本题考查圆的标准方程，考查圆中弦的方程，解题的关键是充分利用圆的性质，属于中档题．