Question

8．如图所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的厚度d的平方和宽度a的乘积成正比，与它的长度l的平方成反比．

（Ⅰ）在a＞d＞0的条件下，将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷会发生变化吗？变大还是变小？
（Ⅱ）现有一根横截面为半圆（半圆的半径为R=$\sqrt{3}$）的柱形木材，用它截取成横截面为长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度l，问横截面如何截取，可使安全负荷最大？

Answer 1

分析 （Ⅰ）设安全负荷为${y_1}=k\frac{{a{d^2}}}{l^2}（k＞0）$，求出翻转90°后的表达式，然后求解比值的最大值．
（Ⅱ）设截取的宽为a（0＜a＜2$\sqrt{3}$），高为d，$（\frac{a}{2}{）^2}+{d^2}={（\sqrt{3}）^2}$，得到安全负荷为$y=f（a）=\frac{k}{l^2}a{d^2}$
令$g（a）=a{d^2}=a（3-\frac{a^2}{4}）$，$a∈（{0，2\sqrt{3}}）$利用函数的导数求解最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）设安全负荷为${y_1}=k\frac{{a{d^2}}}{l^2}（k＞0）$，…（1分）
翻转90°后${y_2}=k\frac{{d{a^2}}}{l^2}（k＞0）$，…（2分）
可得：$\frac{y_1}{y_2}=\frac{d}{a}$，…（3分）
当a＞d＞0时，$\frac{y_1}{y_2}=\frac{d}{a}$＜1
此时枕木的安全负荷变大．…（5分）
（Ⅱ）设截取的宽为a（0＜a＜2$\sqrt{3}$），高为d，$（\frac{a}{2}{）^2}+{d^2}={（\sqrt{3}）^2}$，∴a²+d²=12
…（6分）
其长度l及k为定值，安全负荷为$y=f（a）=\frac{k}{l^2}a{d^2}$
令$g（a）=a{d^2}=a（3-\frac{a^2}{4}）$，$a∈（{0，2\sqrt{3}}）$…（8分）
此时$g'（a）=-\frac{3}{4}{a^2}+3，由g'（a）=0，得a=2$…（9分）
由g′（a）＜0，可得$2＜a＜2\sqrt{3}$，
∴$g（a）在（{0，2}）递增，在（{2，2\sqrt{3}}）递减$…（11分）
所以当宽a=2时，g（a）取得取大值，此时高$d=\sqrt{2}$，
所以，当宽a=2，高$d=\sqrt{2}$时，安全负荷最大…（12分）

点评 本题可拆式的导数的应用，函数的最值的求法，实际问题的应用，考查转化思想以及计算能力．