Question

已知a∈[

1

2

，2]，若f（x）=ax²-4x+2在区间[1，4]上最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）讨论g（a）在[

1

2

，

4

5

]上的单调性；
（3）当a∈[

1

2

，

4

5

]时，证明2a²+4≥g（a）．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的对称轴，判断对称轴与区间的关系，求出f（x）的最小值；讨论对称轴与区间中点的位置关系，求出最大值；利用最大值减去最小值求出g（a）
（2）求出a∈[

1

2

，

4

5

]时g（a）的导函数，判断出其符号，得到g（a）的单调性．
（3）利用（2）的单调性求出g（a）的最大值；求出二次函数2a²+4的最小值，该最小值大于等于g（a）的最大值，
得证．

解答：解：（1）f（x）的对称轴为x=

2

a

∵a∈[

1

2

，2]
∴

2

a

∈[1，4]
∴当x=

2

a

时，f（x）最小为N（a）=2-

4

a

①

4

5

≤a≤4时，当x=4时最大为M（a）=16a-14
②

1

2

≤a＜

4

5

时，当x=1时最大为M（a）=a-2
∴g(a)=

16a+ 4 a -16( 4 5 ≤a≤4) a+ 4 a -4   ( 1 2 ≤a＜ 4 5 )

（2）a∈[

1

2

，

4

5

]时g(a)=a+

4

a

-4
∵g′(a)=1-

4

a2

=

a2-4

a2

＜0
∴g(a)在[

1

2

，

4

5

]上递减
证明（3）∵g(a)在[

1

2

，

4

5

]上递减
∴当a=

1

2

时g（a）最大，最大值为

1

2

+4=

9

2

∵2a2+4≥2×(

1

2

)2+4=

9

2

即∵2a²+4≥g（a）_max
∴2a²+4≥g（a）

点评：本题考查二次函数的最值的求法，其最值取决于对称轴与区间的位置关系、考查利用导函数的符号判断函数的单调性、考查等价转化的数学数学方法．