Question

已知函数：f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45o，是否存在实数m使得对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[f′(x)+

m

2

]在区间（t，3）上总不是单调函数？若存在，求m的取值范围；否则，说明理由；
（Ⅲ）求证：

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×

ln5

5

×…×

lnn

n

＜

1

n

（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；
（II）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：g′（1）＜0，g′（2）＜0，g′（3）＞0，于是可求m的范围．
（Ⅲ）判断lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，进而可得0＜

lnn

n

＜

n-1

n

，即可证得结论．

解答：（I）解：f′(x)=

a(1-x)

x

(x＞0)  （1分），
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）
（II）解：f′（2）=-

a

2

=1得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3
∴g（x）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2
∴g′（t）＜0，g′（3）＞0   （8分）
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，∴存在-

37

3

＜m＜-9（10分）
（Ⅲ）证明：令a=-1此时f（x）=-lnx+x-3，所以f（1）=-2，
由（I）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N^*，则有0＜lnn＜n-1，
∴0＜

lnn

n

＜

n-1

n

∴

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×

ln5

5

×…×

lnn

n

＜

1

2

×

2

3

×

3

4

×

4

5

×…×

n-1

n

＜

1

n

（n≥2，n∈N^*）．…（14分）

点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．