已知函数其中为自然对数的底数. . (1)设.求函数的最值, (2)若对于任意的.都有成立.求的取值范围. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知函数其中为自然对数的底数， .

(1)设，求函数的最值；

(2)若对于任意的，都有成立，求的取值范围.

【答案】

（1）时，，；（2）

【解析】

试题分析：(1)将代入解析式，利用导函数求出驻点然后在分析导函数的正负，从而得出函数的单调性求出最值，；（2）将对于任意的，都有成立转化为对任意，恒成立，然后利用参变分离求解即可.

试题解析：（1)当时，，． 1分

或，当在上变化时，，的变化情况如下表：


－	＋
		1／e

4分

∴时，，． 5分

（2）命题等价于对任意，

恒成立，

即对任意恒成立.

则，有，

又， 9′

只需或.

综上：的取值范围为或. 12′

考点：1.利用导数处理函数的单调性和最值；2.利用导数处理不等式恒成立问题

练习册系列答案

相关题目

，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（Ⅰ）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）是否存在正实数a，使对任意的x₁，x₂∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

已知函数f（x）=

lnx+k

（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=（x²+x）f′（x），其中f′（x）是f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知,（其中为自然对数的底数），根据你的数学知识，推断与间的隔离直线方程为 .

已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）设,其中为的导函数.证明：对任意.

已知函数其中为自然对数的底数， .(Ⅰ)设，求函数的最值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求的取值范围.

【解析】第一问中，当时，，．结合表格和导数的知识判定单调性和极值，进而得到最值。

第二问中，∵，，

∴原不等式等价于：,

即, 亦即

分离参数的思想求解参数的范围

解：（Ⅰ)当时，，．

当在上变化时，，的变化情况如下表：


－	＋
		1／e

∴时，，．

(Ⅱ)∵，，

∴原不等式等价于：,

即, 亦即．

∴对于任意的，原不等式恒成立,等价于对恒成立,

∵对于任意的时, （当且仅当时取等号）．

∴只需，即，解之得或.

因此，的取值范围是

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