Question

甲、乙两人用两颗骰子做游戏，规则如下：若某人掷出的两颗骰子向上的点数之和为3的倍数，则该人继续投掷；若投出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着投掷．第一次由甲开始投掷．

(1)设第n次是由甲投掷的概率为P_n，求P_n；

(2)前三次投掷中，恰好甲投掷两次的概率是多少?

Answer 1

答案：(1)两颗骰子向上的点数之和为3的倍数的情况有1+2，1+5，2+1，2+4，3+3，3+6，4+2，4+5，5+1，5+4，6+3，6+6共12种．所以投掷一次向上点数之和为3的倍数的概率是．

又“第n次由甲投掷”这一事件包括“第n-1次由甲投掷，第n次仍由甲投掷”和“第n-1次由乙投掷，第n次由甲投掷”两种情形，

∴P_n=P_n-1+(1)(1-P_n-1)=P_n-1P_n(P_n-1)．

于是{P_n}是公比为的等比数列，从而P_n=(P₁)·()^n-1．

∵P₁=1，∴P_n．

故P_n=[1+()^n-1]．

(2)由(1)知，P₁=1，P₂=，P₃=，

由于规定第一次是甲投掷，所以前三次投掷中甲恰好投掷两次的情形只有两种：

甲甲乙，甲乙甲，因而其概率为

P=1×.