Question

已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a、b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有等根．

(1)求f(x)的解析式；

(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由．

 

Answer 1

（1）f(x)＝－x2＋2x（2）存在m＝－1，n＝0，满足条件

【解析】(1) f(x)＝－x2＋2x.

(2)由f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，知fmax(x)＝1，∴ 4n≤1，即n≤＜1.

故f(x)在[m，n]上为增函数，∴解得

∴存在m＝－1，n＝0，满足条件