题目内容
（2013•香洲区模拟）在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C，所对的边，且满足
a-2bsinA=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=5，且a＞c，b=
，求
•
的值．
| 3 |
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=5，且a＞c，b=
| 7 |
| AB |
| AC |
分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0，可得出sinB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c的值代入，求出ac的值，将a+c=5与ac=6联立，并根据a大于c，求出a与c的值，再由a，b及c的值，利用余弦定理求出cosA的值，然后将所求的式子利用平面向量的数量积运算法则化简后，将b，c及cosA的值代入即可求出值．
（Ⅱ）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c的值代入，求出ac的值，将a+c=5与ac=6联立，并根据a大于c，求出a与c的值，再由a，b及c的值，利用余弦定理求出cosA的值，然后将所求的式子利用平面向量的数量积运算法则化简后，将b，c及cosA的值代入即可求出值．
解答：解：（Ⅰ）∵
a-2bsinA=0，
∴
sinA-2sinBsinA=0，…（2分）
∵sinA≠0，∴sinB=
，…（3分）
又B为锐角，则B=
；…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知B=
，又b=
，
根据余弦定理，得b2=7=a2+c2-2accos
，…（7分）
整理得：（a+c）2-3ac=7，
∵a+c=5，∴ac=6，
又a＞c，可得a=3，c=2，…（9分）
∴cosA=
=
=
，…（11分）
则
•
=|
|•|
|cosA=cbcosA=2×
×
=1．…（13分）
| 3 |
∴
| 3 |
∵sinA≠0，∴sinB=
| ||
| 2 |
又B为锐角，则B=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知B=
| π |
| 3 |
| 7 |
根据余弦定理，得b2=7=a2+c2-2accos
| π |
| 3 |
整理得：（a+c）2-3ac=7，
∵a+c=5，∴ac=6，
又a＞c，可得a=3，c=2，…（9分）
∴cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| 7+4-9 | ||
4
|
| ||
| 14 |
则
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
| 7 |
| ||
| 14 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算法则，完全平方公式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．
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