题目内容

已知向量 $数学公式$
（I）若 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ，求θ的值
（II）设f（θ）= $数学公式$ ，求函数f（θ）的最大值及单调递增区间．

解：（I）因为 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，，可得sinθ=cosθ，由此得tanθ=1，又 $\text{[math]}$ ，故有θ= $\text{[math]}$
（II）f（θ）= $\text{[math]}$ =2sinθcosθ+2cos²θ+1=sin2θ+cos2θ+2= $\text{[math]}$ sin（2θ+ $\text{[math]}$ ）+2
因为θ∈ $\text{[math]}$ ，所以2θ+ $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$
∴函数f（θ）的最大值为 $\text{[math]}$ +2，
令 $\text{[math]}$
解得θ∈ $\text{[math]}$
故函数的单调递增区间是 $\text{[math]}$
分析：（I）由题设条件， $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，，可得sinθ=cosθ，由此得tanθ=1，再由 $\text{[math]}$ ，即可判断出θ的值；
（II）由f（θ）= $\text{[math]}$ 及两向量的坐标得到f（θ）的函数解析式，再由三角函数的最值的判断出函数的最值，利用正弦函数的单调性求出函数的单调递增区间．
点评：本题考查平面向量数量积的运算及三角函数的最值求法，解题的关键是熟练掌握向量的数量积的运算，平面向量数量积是考试的一个热点，应注意总结其运算规律，三角函数的最值在近年的高考中出现的频率也很高，在某些求最值的问题中，将问题转化到三角函数中利用三角函数的有界性求函数最值，方便了求最值