Question

设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内任意一点，且P到三边AB、BC、CA的距离分别为d₁、d₂、d₃，则有d₁+d₂+d₃为定值

3

2

a；由以上平面图形的特性类比到空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内任意一点，且P到平面ABC、平面ABD、平面ACD、平面BCD的距离分别为h₁、h₂、h₃、h₄，则有h₁+h₂+h₃+h₄为定值______．

Answer 1

由于等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d₁，d₂，d₃，则有d₁+d₂+d₃为定值

3

2

a；
证明如下：如图，△ABC是等边三角形，点P是等边三角形内部任一点．
S_△APB=

1

2

a?PE，S_△CPB=

1

2

a?PE，S_△APC=

1

2

a?PG，
于是S_△APB+S_△CPB+S_△APC=

1

2

a?PE+

1

2

a?PF+

1

2

a?PG，
即

1

2

a?PE+

1

2

a?PF+

1

2

a?PG=S，
PE+PF+PG=

2S

a

，为定值．
即d₁+d₂+d₃=

2S

a

，为定值．
由线类比为面，点到直线的距离类比为点到平面的距离，面积类比为体积得到：
有d₁+d₂+d₃+d₄为定值

6

3

a．
故答案为：

6

3

a．