Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且bcosA-acosB=c-a．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积是

3 3

4

，且a+c=5，求b．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由余弦定理分别表示出cosA和cosB，代入已知的等式中得到一个关系式，将得到的关系式代入到cosB中即可求出cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出b²=a²+c²-2accosB，把第一问求出的cosB的值代入，配方后把a+c的值代入即可得到一个关系式，利用三角形的面积公式，根据sinB的值及已知的面积求出ac的值，代入前面得到的关系式中即可列出关于b的方程，开方即可求出b的值．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

，cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
将上式代入bcosA-acosB=c-a，整理得：b²=a²+c²-ac，
得到cosB=

1

2

，因为B为三角形的内角，所以B=

π

3

；              
（Ⅱ）因为b²=a²+c²-2accosB，cosB=

1

2

，
所以b²=a²+c²-ac=（a+c）²-3bc
∵a+c=5，∴b²=25-3ac，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac=

3 3

4

，解得ac=3，
∴b²=25-3ac=25-9=16，
∴b=4．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握余弦定理及三角形的面积公式是解本题的关键．