题目内容
【题目】设甲、乙两位同学上学期间，每天7:10之前到校的概率均为
.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（1）用
表示甲同学上学期间的每周五天中7:10之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7:10之前到校的天数比乙同学在7:10之前到校的天数恰好多3天”为事件
，求事件发生的概率.
【答案】（1）分布列见解析，
；（2）
.
【解析】
（1）先根据已知条件分析出
服从二项分布，再利用二项分布概率计算公式求出相应概率，即可求出其分布列与数学期望；
（2）先分析出乙同学
之前到校的天数
也服从二项分布，再根据互斥事件与相互独立事件的概率计算公式求概率即可.
（1）因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天之前到校的概率为
，
所以
，
从而
，
，
所以，随机变量的分布列为：
P | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
X |
|
|
|
|
|
|
所以
；
（2）设乙同学上学期间的五天中之前到校的天数为，则
，
且事件
，
由题意知，事件
之间互斥，
且与相互独立，
由（1）可得
.
【题目】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量
(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量
限制，并有如下关系:
年入流量 |
|
|
|
发电量最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
