题目内容

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC= $数学公式$ ，
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求证，直线PB与AC垂直；
（3）求二面角A-PB-D的大小；
（4）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；
（5）求四棱锥外接球的半径．

解：（1）证明：∵PD=a，AD=a，PA= $\text{[math]}$ ，
∴PD²+DA²=PA²，同理∴∠PDA=90°．
即PD⊥DA，PD⊥DC，∵AO∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD．
（2）连接BD，∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AC
∵PD∩BD=D
∴AC⊥平面PDB∵PB?平面PDB
∴AC⊥PB∴PB与AC所成的角为90°
（3）设AC∩BD=0，过A作AE⊥PB于E，连接OE
∵AO⊥平面PBD∴OE⊥PB
∴∠AEO为二面角A-PB-D的平面角
∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB
∴PA⊥AB在Rt△PDB中， $\text{[math]}$ ，
在Rt△PAB中，
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
在Rt△AOE中， $\text{[math]}$ ，∴∠AEO=60°∴二面角A-PB-D的大小为60．
（4）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，
设球心为S，连SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
S_?ABCD=a²
∵V_P-ABCD=V_S-PDA+V_S-PDC+V_S-ABCD+V_S-PAB+V_S-PBC
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∴球的最大半径为（ $\text{[math]}$ ）
（5）设PB的中点为F，∵在Rt△PDB中：FP=FB=FD
在Rt△PAB中：FA=FP=FB，在Rt△PBC中：FP=FB=FC
∴FP=FB=FA=FC=FD∴F为四棱锥外接球的球心
则FP为外接球的半径∵FP= $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∴四棱锥外接球的半径为 $\text{[math]}$
分析：（1）要证PD⊥平面ABCD，只需证PD垂直于平面ABCD内的两条相交线，而所给已知量都是数，故可考虑勾股定理的逆定理．
（2）从图形的特殊性，应先考虑PB与AC是否垂直，若不垂直然后再转化．
（3）由于AC⊥平面PBD，所以用垂线法作出二面角的平面角．
（4）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积法求解．
（5）四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五的距离均为半径，只要找出球心的位置即可，在Rt△PDB中，斜边PB的中点为F，则PF=FB=FD不要证明FA=FC=FP即可．
点评：本题主要考查棱锥的性质以及内切外接的相关知识点．“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，例如本例中球内切于四棱锥中时，球与四棱锥的五个面相切，即球心到五个面的距离相等．求体积或运用体和解决问题时，经常使用等积变形，即把一个几何体割补成其它几个几何体的和或差．