题目内容

一个房间有4扇同样的窗子，其中只有一扇窗子是打开的．房间里一只燕子只能从开着的窗子飞出去，燕子在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间．假定燕子飞向各扇窗子是等可能的．
（1）假定燕子是没有记忆的，求它恰好在第2次试飞时出了房间的概率；
（2）假定这只燕子是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只燕子恰好在第η次试飞时飞出了房间，求试飞次数η的分布列及其数学期望．

解：（1）由题设条件知，燕子每次试飞出了房间的概率为 $\text{[math]}$
∴燕子恰好在第2次试飞时出了房间的概率为P= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（2）由题设条件知P（η=1）= $\text{[math]}$ ，P（η=2）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，P（η=3）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，P（η=4）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴试飞次数η的分布列如下：

η	1	2	3	4
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

∴试飞次数η的数学期望为E（η）=1× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +4× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题设条件知，燕子每次试飞出了房间的概率，由此可求燕子恰好在第2次试飞时出了房间的概率；
（2）η的可能取值为1，2，3，4，求出相应的概率，即可得到试飞次数η的分布列与数学期望．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出概率是关键．