题目内容
14.已知sinθ、cosθ是$2{x^2}-({\sqrt{3}+1})x+m=0$的两根,且$θ∈({0\;,\frac{π}{2}})$(1)求m;
(2)求θ.
分析 (1)根据题意利用韦达定理列出关系式,结合完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简,即可求出m的值;
(2)把m的值代入计算求出sinθ与cosθ的值,即可确定出θ的度数.
解答 解:(1)∵sinθ、cosθ为方程2x2-($\sqrt{3}$+1)x+m=0的两根,
∴sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$,sinθcosθ=$\frac{m}{2}$,
∵(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,
∴$\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$=1+m,
解得:m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$;
(2)∴sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$,sinθcosθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$,且θ∈(0,$\frac{π}{2}$),
∴sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,cosθ=$\frac{1}{2}$或sinθ=$\frac{1}{2}$,cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
则θ=$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{6}$.
点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
练习册系列答案
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