Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）要使f（x）在（0，2）上单调递增，试求a的取值范围；
（2）当a＜0时，若函数满足y_极大=1，y_极小=-3，试求y=f（x）的解析式；
（3）当x∈（0，1]时，y=f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，且0≤θ≤

π

4

，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数f′（x），要使f（x）在区间（0，2）上单调递增，只需x∈（0，2）时，f′（x）＞0恒成立，利用分离参数法，即可求出a的范围；
（2）由（1）中导函数的解析式，我们易求出函数取极值时x的值，然后根据函数f（x）的极小值和极大值，构造关于a，b的方程，解方程后即可求出函数y=f（x）的解析式；
（3）根据导数的几何意义可知tanθ=f′（x），然后根据倾斜角为θ的范围求出f′（x）的范围在x∈[0，1]恒成立，将a分离出来，使之恒成立即可求出a的范围．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+2ax，
由题设，当x∈（0，2）时，f′（x）≥0恒成立，即-3x²+2ax≥0恒成立，
∴2a≥3x恒成立，
∴2a≥6，
∴a≥3
（2）求导函数，可得f′（x）=-3x²+2ax=x（-3x+2a）
a＞0时，当x∈（-∞，

2

3

a）时，f′（x）＜0，x∈（

2

3

a，0）时，f′（x）＞0，x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0
∴函数在0处取得极大值，在

2

3

a处取得极小值
∵函数满足y_极大=1，y_极小=-3，
∴f（0）=1，f（

2

3

a）=-3
∴a=-3，b=1
∴f（x）=-x³-3x²+1
（3）当x∈（0，1]时，tanθ=f′（x）=-3x³+2ax
∵0≤θ≤

π

4

，∴0≤f'（x）≤1．
∴0≤-3x²+2ax≤1在x∈（0，1]恒成立，
由（1）知，当-3x²+2ax≥0时，a≥

3

2

，
由-3x²+2ax≤1得2a≤3x+

1

x

恒成立，
∵3x+

1

x

≥2

3

（当且仅当x=

3

3

时，取等号）
∴2a≤2

3

∴a≤

3

∴

3

2

≤a≤

3

点评：本题主要考查导数知识的运用，考查灵活运用转化与划归的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属于中档题．