Question

14．已知函数f（x）=lnx，g（x）=（x-1）e^x，其中e是自然对数的底数．
（1）若函数f（x）在点P（m，f（m））处的切线在y轴上的截距为2，求实数m的取值；
（2）求函数h（x）=g（x）+g′（x）的极值；
（3）求函数r（x）=g（x）+e|f（x）-a|（a为常数）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）∵f（x）=lnx，∴切点P的坐标为（m，lnm），求出函数f（x）在点P（m，f（m））处的切线方程即可．
（2）对h（x）求导h'（x）=2e^x+（2x-1）e^x=（2x+1）e^x，利用导数函数的性质得到极值．
（3）函数r（x）=g（x）+e|f（x）-a|=（x-）e^x+e|lnx-a|（a为常数），求导，利用导数的性质求得单调区间．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx，∴切点P的坐标为（m，lnm），
又∵$f'（x）=\frac{1}{x}$，∴过切点P的切线的斜率为${K_切}=f'（m）=\frac{1}{m}$，
则函数f（x）在点P（m，f（m））处的切线方程为$y-lnm=\frac{1}{m}（{x-m}）$…（2分）
即$y=\frac{1}{m}x+lnm-1$，
又切线在y轴上的截距为2，则lnm-1=2，即m=e³，…（4分）
（2）∵h（x）=g（x）+g'（x）=（x-1）e^x+[（x-1）e^x]′=（2x-1）e^x，
∴h'（x）=2e^x+（2x-1）e^x=（2x+1）e^x…（6分）
令h'（x）=（2x+1）e^x＞0，解得$x＞-\frac{1}{2}$，令h'（x）=（2x+1）e^x＜0，解得$x＜-\frac{1}{2}$，
则函数h（x）=g（x）+g'（x）在$（{-\frac{1}{2}，+∞}）$上为单调递增函数，
在$（{-∞，-\frac{1}{2}}）$上为单调递减函数，
当$x=-\frac{1}{2}$时，函数h（x）的极小值为$h（{-\frac{1}{2}}）=\frac{-2}{{\sqrt{e}}}$，无极大值存在 …（8分）
（3）∵函数r（x）=g（x）+e|f（x）-a|=（x-）e^x+e|lnx-a|（a为常数），
∴函数$r（x）=\left\{\begin{array}{l}（{x-1}）{e^x}+e（{lnx-a}）（{当x≥{e^a}时}）\\（{x-1}）{e^x}+e（{a-lnx}）（{当x＜{e^x}时}）\end{array}\right.$，…（9分）
①当x≥e^a时，$r'（x）=x{e^x}+\frac{e}{x}＞0$恒成立，
则函数r（x）在[e^a，+∞）上为单调递增函数，…（10分）
②当0＜x＜e^a时，$r'（x）=x{e^x}-\frac{e}{x}$，
又∵${[{r'（x）}]^′}={（{x{e^x}-\frac{e}{x}}）^′}=（{x+1}）{e^x}+\frac{e}{x^2}＞0$恒成立，
∴函数$r'（x）=x{e^x}-\frac{e}{x}$在（0，e^a）上为单调递增函数，
又∵r'（1）=0，∴函数r'（x）在（0，1）上恒小于0，在（1，e^a）上恒大于0…（12分）1⁰、当a≤0时，e^a≤1，则此时r'（x）在（0，e^a）上恒小于0
即函数r（x）在（0，e^a）上为单调递减函数，…（13分）2⁰、当a＞0时，e^a＞1，则此时r'（x）在（0，1）上恒小于0，在（1，e^a）上恒大于0，
即函数r（x）在（0，1）上为单调递减函数，
在（1，e^a）上为单调递增函数，…（15分）
综上可知：当a≤0时，函数r（x）递减区间为（0，e^a），递增区间为[e^a，+∞），
当a＞0时，函数r（x）递减区间为（0，1），递增区间为[1，+∞），…（16分）

点评 本题主要考查函数导数在求函数切线方程、极值、单调区间中的应用，属于中档题型．