Question

如图1，已知矩形ABCD，AB=2AD=2a，E是CD边的中点，以AE为棱，将△DAE向上折起，将D变到D′的位置，使面D′AE与面ABCE成直二面角（图2）．
（1）求直线D′B与平面ABCE所成的角的正切值；
（2）求证：AD′⊥BE；
（4）求异面直线AD′与BC所成的角．

Answer 1

分析：（1）根据二面角的定义，作D′O⊥AE于O，连 OB，可得∠D′BO是直线D′B与平面ABCE所成的角，解直角△D′OB，即可求出直线D′B与平面ABCE所成的角的正切值；
（2）连接BE，则BE⊥AE于E，由线面垂直的性质，由（1）中结论D′O⊥平面ABCE，可得D′O⊥BE，结合线面垂直的判定定理，证得BE⊥平面AD′E后，易得AD′⊥BE；  
（3）求异面直线AD′与BC所成的角，关键是作出线线角，作AK∥BC交CE的延长线于K，则∠D′AK是异面直线AD′与BC所成的角

解答：解：（1）∵D′-AE-B是直二面角，
∴平面D′AE⊥平面ABCE．
作D′O⊥AE于O，连 OB，则D′O⊥平面ABCE．
∴∠D′BO是直线D′B与平面ABCE所成的角．
∵D′A=D′E=a，且D′O⊥AE于O，∠AD′E=90°
∴O是AE的中点，
AO=OE=D′O=

2

2

a，∠D′AE=∠BAO=45°．
∴在△OAB中，OB=

OA2+AB2-2•OA•ABcos45°

=

( 2 2 a)2+(2?a)2-2•( 2 2 a)(2a) 2 2

=

10

2

a．
∴在直角△D′OB中，tan∠D′BO=

D′O

OB

=

5

5

．
（2）如图，连接BE，
∵∠AED=∠BEC=45°，
∴∠BEA=90°，
即BE⊥AE于E．
∵D′O⊥平面ABCE，
∴D′O⊥BE，
∴BE⊥平面AD′E，
∴BE⊥AD′．
（3）作AK∥BC交CE的延长线于K，
∴∠D′AK是异面直线AD′与BC所成的角，
∵四边形ABCK是矩形，
∴AK=BC=EK=a．
连接OK，D′K，
∴OK=D′O=

2

2

a，∠D′OK=90°，∴D′K=a，AK=AD′=D′K=a．
∴△D′AK是正三角形，∴∠D′AK=60°，
即异面直线AD′与BC成60°

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系，点到平面的距离计算，其中（1）的关键是确定∠D′BO是直线D′B与平面ABCE所成的角，（2）的关键是熟练掌握空间中线线垂直与线面垂直之间的相互转化，（3）的关键是作出线线角．