Question

8．不等式|y+8|-|y|≤2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$对任意实数x、y都成立，则常数a的取值范围是a≥16．

Answer 1

分析 令f（y）=|y+8|-|y|，利用绝对值不等式可得|y+8|-|y|≤|y+8-y|=8，从而将问题转化为2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$≥f（y）_max=8，令g（x）=-（2^x）²+8×2^x，则a≥g（x）_max=16，从而可得答案．

解答 解：令f（y）=|y+8|-|y|，则f（y）≤|y+8-y|=8，
即f（y）_max=8．
∵不等式|y+8|-|y|≤2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$对任意实数x，y都成立，
∴2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$≥f（y）_max=8，
∴a≥-（2^x）²+8×2^x=-（2^x-4）²+16恒成立；
令g（x）=-（2^x）²+8×2^x，
则a≥g（x）_max=16，
故答案为：a≥16．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，着重考查化归思想与构造函数思想，突出恒成立问题的考查，属于中档题．