题目内容
【题目】已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣ 
+ax．
（1）函数h（x）=f（ex﹣a）+g'（ex），x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；
（2）对任意x∈[2，+∞），都有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立，求a的范围．
【答案】
（1）解：h（x）=（x﹣a）ex+a．h'（x）=（x﹣a+1）ex，令h'（x）=0得x=a﹣1．
①当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在[﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为 
．
②当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈[﹣1，a﹣1]上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在在x∈[a﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）为增函数．
∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣ea﹣1+a．
③当a﹣1≥1即a≥2时，在[﹣1，1]上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．
综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为 
，当0＜a＜2时h（x）的最小值为﹣ea﹣1+a，当a≥2时，h（x）最小值为（1﹣a）e+a．
（2）设 
，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．
①当a≥0时，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）递增，F（x）的最小值为F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0．
②当a≤﹣1时，令 
，解得： 
，此时 
∴ 
．∴F'（x）在[2，+∞）上递减．∵F'（x）的最大值为F'
a+1≤0，∴F（x）递减．∴F（x）的最大值为F（2）=0，
即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立．
③当﹣1＜a＜0时，此时 
，当 
时，F'（x）＞0，F'（x）递增，当 
时，F'（x）＜0，F'（x）递减．
∴ 
=﹣ln（﹣a）＞0，又由于F'（2）=a+1＞0，
∴在 
上F'（x）＞0，F（x）递增，
又∵F（2）=0，所以在 上F（x）＞0，显然不合题意．
综上所述：a≤﹣1．
【解析】（I）求出导数得到极值点，通过①当a≤0时，②当0＜a＜2时，③当a≥2时分别求解函数的单调性以及函数的最值即可．（II）设 ，求出导数F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．通过①当a≥0时，②当a≤﹣1时，③当﹣1＜a＜0时，分别求解函数的单调性已经函数的最值，推出a≤﹣1．
