题目内容
（2013•兰州一模）选修4-1：《几何证明选讲》已知：如图，⊙O为△ABC的外接圆，直线l为⊙O的切线，切点为B，直线AD∥l，交BC于D、交⊙O于E，F为AC上一点，且∠EDC=∠FDC．求证：
（Ⅰ）AB2=BD•BC；
（Ⅱ）点A、B、D、F共圆．
分析：（I）利用直线l为⊙O的切线，可得∠1=∠ACB．利用AD∥l，可得∠1=∠DAB．于是∠ACB=∠DAB，即可得出△ABC∽△DAB．利用相似三角形的性质可得
=
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BAC=∠ADB．已知∠EDC=∠FDC，∠EDC=∠ADB，可得∠BAC=∠FDC．即可得出点A、B、D、F共圆．
| AB |
| DB |
| BC |
| AB |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BAC=∠ADB．已知∠EDC=∠FDC，∠EDC=∠ADB，可得∠BAC=∠FDC．即可得出点A、B、D、F共圆．
解答：
证明：（I）∵直线l为⊙O的切线，∴∠1=∠ACB．
∵AD∥l，∴∠1=∠DAB．
∴∠ACB=∠DAB，
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DAB．
∴
=
．
∴AB2=BD•BC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BAC=∠ADB．
∵∠EDC=∠FDC，∠EDC=∠ADB，
∴∠BAC=∠FDC．∴∠BAC+∠FDB=∠FDC+∠FDB=180°．
∴点A、B、D、F共圆．
证明：（I）∵直线l为⊙O的切线，∴∠1=∠ACB．∵AD∥l，∴∠1=∠DAB．
∴∠ACB=∠DAB，
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DAB．
∴
| AB |
| DB |
| BC |
| AB |
∴AB2=BD•BC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BAC=∠ADB．
∵∠EDC=∠FDC，∠EDC=∠ADB，
∴∠BAC=∠FDC．∴∠BAC+∠FDB=∠FDC+∠FDB=180°．
∴点A、B、D、F共圆．
点评：熟练掌握圆的切线的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定与性质等是解题的关键．
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