Question

设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。

（Ⅰ）、求椭圆的方程；

（Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。

（此题不要求在答题卡上画图）

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.

故椭圆的方程为 .

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M.

∵M点在椭圆上，∴y₀＝（4－x₀²）.      …………………          ①

又点M异于顶点A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三点共线可以得

P（4，）.

从而＝（x₀－2，y₀），

＝（2，）.

∴?＝2x₀－4＋＝（x₀²－4＋3y₀²）. … ……………   ②

将①代入②，化简得?＝（2－x₀）.

∵2－x₀>0，∴?>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，

故点B在以MN为直径的圆内。

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则－2< x₁<2，－2< x₂<2，又MN的中点Q的坐标为（，），

依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差

－＝(－2）2＋（）2－[( x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²]

                 ＝（x₁－2) (x₂－2)＋y₁y₂                       ③

又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝，

而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，

∴，即y₂＝                         ④

又点M在椭圆上，则，即           ⑤

于是将④、⑤代入③，化简后可得－＝.

从而，点B在以MN为直径的圆内。