Question

如图，已知离心率为

3

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B．
（1）求椭圆C的方程．
（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

和椭圆过点M（2，1），列出方程组，再由方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）由直线l∥OM，设l：y=

1

2

x+m，将式子代入椭圆C得：x²+2mx+2m²-4=0，设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，欲证明直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．只需证明：k₁+k₂=0即可．

解答：（Ⅰ）解：设椭圆C的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由题意得：

c a = 3 2 4 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2

，
解得a²=8，b²=2，
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）证明：由直线l∥OM，设l：y=

1

2

x+m，
将式子代入椭圆C得：x²+2mx+2m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4，
设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，
则k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，
∵k₁+k₂=

1 2 x1+m-1

x1-2

+

1 2 x2+m-1

x2-2

=1+m•

x1+x2-4

x1x2-2(x1+x2)+4

=1+m•

-2m-4

2m2-4-2(-2m)+4

=0，
故直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形是等腰三角形的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆的位置关系的灵活运用．