Question

已知抛物线x²=2py（p为常数，p≠0）上不同两点A、B的横坐标恰好是关于x的方程x²+6x+4q=0（q为常数）的两个根，则直线AB的方程为

 

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Answer 1

分析：本题考查的知识点是直线的一般方程，由已知A、B的横坐标是方程x²+6x+4q=0的两个根，由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），我们易得x₁+x₂=-6，x₁•x₂=4q，再由A、B也在抛物线上，易得y₁，y₂的值，代入两点式方程，整理即可得到答案．

解答：解：设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
由A、B的横坐标是方程x²+6x+4q=0的两个根
则x₁+x₂=-6，x₁•x₂=4q
又由A、B也在抛物线上，
则y₁=

1

2p

x

2 1

，y₂=

1

2p

x

2 2

代入两点式方程得：

x-x1

x2-x1

=

y-y1

y2-y1

即x-x₁=

2py- x 2 1

-6

即6x+2py=x₁²+6x₁=x₁²+x₁x₂+6x₁-x₁x₂=x₁（x₁+x₂）+6x₁-4q=-4q
即：3x+py+2q=0
故答案为：3x+py+2q=0

点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．