Question

已知点A（-1，0）、B（1，0）和动点M满足∠AMB=2θ，且|AM||BM|cos²θ=3，动点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）直线l过点（-1，0），且与曲线C交于P，Q两点，求△BPQ的内切圆面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知结合余弦定理，可得AM+BM=4＞AB=2，即M的轨迹为椭圆，进而求出a，b，c值，可得椭圆的标准方程；
（2）由于△BPQ为椭圆的焦点三角形，可得其周长为4a，根据三角形面积公式，可得△BPQ的面积S=4r，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及基本不等式，求出三角形面积的最大值，可求出内切圆半径，进而得到内切圆的面积．

解答：解：（I）由余弦定理得AB²=AM²+BM²-2AM•BM•cos2θ=AM²+BM²-4AM•BM•cos²+2AM•BM
∴AM+BM=4＞AB=2
故M的轨迹为椭圆，其中c=1，a=2，b=

3

∴曲线C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由（I）知△BPQ为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的焦点三角形，周长为4a=8
则△BPQ的面积S=

1

2

•4a•r=4r（r为△BPQ的内切圆半径）
故当△BPQ的面积最大进，其内切圆面积最大；
设直线l的方程为：x=ky-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
由

x=ky-1 x2 4 + y2 3 =1

得：（4+3k²）y²-6ky-9=0
则y₁+y₂=

6k

3k2+4

，y₁+y₂=

-9

3k2+4

∴S=

1

2

•2c•|y₁-y₂|=

12 k2+1

3k2+4

令t=

k2+1

，（t≥1）
则S=

12

3t+ 1 t

，
∵y=3t+

1

t

在[1，+∞）上单调递增，故当t=1时，S取最大值3
此时r=

3

4

即△BPQ的内切圆面积的最大值为

9π

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点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合应用，椭圆的标准方程，其中解答（2）时的三驾马车“联立方程，设而不求，韦达定理”是解答的关键．