Question

已知函数f(x)=log2(

2

1-x

-1)，
（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若实数m满足f（2m-1）＞f（1-m），求m 取值范围．

Answer 1

分析：（1）求得函数的定义域，利用奇函数的定义进行判断；
（1）求得函数f(x)=log2(

2

1-x

-1)在（-1，1）上单调递增，将不等式转化为具体不等式，即可求m的取值范围．

解答：解：（1）函数是奇函数；
由

2

1-x

-1＞0，可得-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1）
∵f(x)=log2(

2

1-x

-1)=log2

1+x

1-x

∴f（-x）=log2

1-x

1+x

=-log2

1+x

1-x

=-f（x）
∴函数是奇函数；
（2）令y=

1+x

1-x

，则y′=

2

(1-x)2

＞0，∴y=

1+x

1-x

在（-1，1）上单调递增
∴函数f(x)=log2(

2

1-x

-1)在（-1，1）上单调递增
∵f（2m-1）＞f（1-m），
∴

-1＜2m-1＜1 -1＜1-m＜1 2m-1＞1-m

解得

2

3

＜m＜1．

点评：本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．