Question

20．如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=$\sqrt{2}$AB，点E在棱SC上．
（Ⅰ）若SA∥平面BDE，求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求AD与平面SCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，设底面正方形的边长为2，连接AC交BD于O，连接OE，证明：AC⊥BE，AC⊥DE，即可证明AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求出平面SCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求AD与平面SCD所成角的正弦值．

解答 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设底面正方形的边长为2，得到如下点的坐标：
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2$\sqrt{2}$）．
（Ⅰ） 连接AC交BD于O，连接OE，
∵底面ABCD是正方形，
∴O为AC中点，
∵SA∥平面BDE，平面SAC∩平面BDE=OE，
∴SA∥EO，且E为SC的中点，
∴E（1，1，$\sqrt{2}$）．
∵$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（-1，1，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DE}$=（1，-1，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BE}$=（2，2，0）•（-1，1，$\sqrt{2}$）=0，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DE}$=（2，2，0）•（1，-1，$\sqrt{2}$）=0，
∴AC⊥BE，AC⊥DE，
∴AC⊥平面BDE．                                …（4分）
（Ⅱ） 设平面SCD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{SD}$=（0，2，-2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0），且$\overrightarrow{SD}$•$\overrightarrow{m}$=0，$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{m}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2y-2\sqrt{2}z=0}\\{-2x=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}z}\\{x=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{2}$，1），
又$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），设AD与平面SCD所成角为θ，
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AD}$＞=cos（π-θ）=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴AD与平面SCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．     …（12分）

点评 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，其中建立空间坐标系，将线段垂直问题及线面夹角问题，转化为向量问题是解答的关键．