题目内容
已知函数.
(1)试判断函数的单调性;
(2)设,求在上的最大值;
(3)试证明:对,不等式恒成立.
(1)函数在上单调递增,在上单调递减;
(2)当时,=;
当时,=;
当时,.
(3)证明略.
解析:
(1)∵,令得
∴,∵当时,当时
∴函数在上单调递增,在上单调递减,∴当时函数有最大值;
(2)由(1)知函数在上单调递增,在上单调递减
故①当即时,在上单调递增,∴=.
②当时,在上单调递减,∴=
③当,即时,
(3)由(1)知当时,
∴在上恒有,即且仅当时“=”成立
∴对任意的恒有
∵且∴
即对,不等式恒成立.
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