Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）当a=

1

3

，c=2时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，且ac=

1

2

，求a的值；
（3）若f（0）=1，且f（x）≤m²-2m+1对所有x∈[0，c]恒成立，求正实数m的最小值．

Answer 1

分析：（1）把a=

1

3

，c=2代入二次函数f（x）=ax²+bx+c，根据f（x）＜0，解不等式即可；
（2）函数f（x）的图象与x轴有两个交点，得f（c）=0，可以求出其三个交点，从而求出其面积；
（3）已知f（0）=1，且f（x）≤m²-2m+1对所有x∈[0，c]恒成立，只要f（x）的最大值小于m²-2m+1，然后再解不等式；

解答：解：（1）当a=

1

3

，c=2时，f(x)=

1

3

x2+bx+2，
f（x）的图象与x轴有两个不同交点，
因为f（2）=0，
设另一个根为x₁，则2x₁=6，x₁=3．（2分）
则f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜3}．（4分）
（2）函数f（x）的图象与x轴有两个交点，因f（c）=0，
设另一个根为x₂，则cx2=

c

a

，于是x2=

1

a

．（6分）
又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则

1

a

＞c，
则三交点为(c，  0)，  (

1

a

，  0)，  (0，  c)，（8分）
这三交点为顶点的三角形的面积为S=

1

2

(

1

a

-c)c=8，且ac=

1

2

，
解得a=

1

8

，  c=4．（10分）
（3）当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则

1

a

＞c，
所以f（x）在[0，c]上是单调递减的，且在x=0处取到最大值1，（12分）
要使f（x）≤m²-2m+1，对所有x∈[0，c]恒成立，
必须f(x)max=1≤m2-2m+1成立，所有m²-2m+1≥1，即m²-2m≥0，
解得m≥2或m≤0，而m＞0，
所以m的最小值为2．（16分）

点评：此题主要考查二次函数的性质，及函数的恒成立问题，第一问比较简单，第二问有一定的难度，是一道中档题；