题目内容
1.已知函数f(x)=x3+ax2-a2x,(a>0)(Ⅰ)若a=2,求函数f(x)的单调区间与极值;
(Ⅱ)已知方程f(x)+5=0有三个不相等的实数解,求实数a的取值范围.
分析 (Ⅰ)将a=2代入函数f(x),求出其表达式,得到函数的单调区间,从而求出函数的最值;
(Ⅱ)构造函数φ(x)=f(x)+5,通过求导得到函数的极值点,从而得到不等式组,解出即可.
解答 解:(Ⅰ)当a=2时,f(x)=x3+2x2-4x,(a>0),
f′(x)=3x2+4x-4=(x+2)(3x-2),
令f′(x)>0,解得:$x<-2或x>\frac{2}{3}$,
令f′(x)<0,解得:-2<x<$\frac{2}{3}$,
∴函数f(x)的单调递增区间为$({-∞,-2}),({\frac{2}{3},+∞})$,单调递减区间$({-2,\frac{2}{3}})$,
当x=-2时,函数f(x)的极大值f(-2)=8,
当x=$\frac{2}{3}$时,函数f(x)的极小值$f({\frac{2}{3}})=-\frac{40}{27}$;
(Ⅱ)设φ(x)=f(x)+5=x3+ax2-a2x+5,
φ′(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)(3x-a),
∴-a,$\frac{a}{3}$是函数f(x)的极值点,
由题意知:$\left\{{\begin{array}{l}{φ(-a)>0}\\{φ(\frac{a}{3})<0}\end{array}}\right.∴a>3$,
综上可知,a的取值范围为:a>3.
点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,是一道中档题.
练习册系列答案
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