题目内容
【题目】在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．
（1）求证：A1C∥平面AB1D；
（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．
【答案】
（1）证明：记A1B∩AB1=O，连接OD．
∵四边形AA1B1B为矩形，∴O是A1B的中点，
又∵D是BC的中点，∴A1C∥OD．
又∵A1C平面AB1D，OD平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D．
（2）证明：∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC．…8分
∵平面ABC⊥平面BB1C1C，
平面ABC∩平面BB1C1C=BC，AD平面ABC，
∴AD⊥平面BB1C1C．
或利用CC1⊥平面ABC证明AD⊥平面BB1C1C．
∵BM平面BB1C1C，∴AD⊥BM．
又∵BM⊥B1D，AD∩B1D=D，AD，B1D平面AB1D，
∴BM⊥平面AB1D．
又∵BM平面ABM，
∴平面AB1D⊥平面ABM．
【解析】（1）连接A1B，记A1B∩AB1=O，连接OD，由O是A1B的中点，D是BC的中点，根据中位线可得A1C∥OD，即A1C∥平面AB1D，（2）根据面面垂直的判定定理进行证明即可.
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