Question

给出下列五个命题：
①函数y=2sin(2x-

π

3

)的一条对称轴是x=

5π

12

；
②函数y=tanx的图象关于点（

π

2

，0）对称；
③正弦函数在第一象限为增函数；
④若sin(2x1-

π

4

)=sin(2x2-

π

4

)，则x₁-x₂=kπ，其中k∈Z．
以上四个命题中正确的有

 

（填写正确命题前面的序号）

Answer 1

分析：把x=

5π

12

代入函数得  y=1，为最大值，故①正确．
由正切函数的图象特征可得（

π

2

，0）是函数y=tanx的图象的对称中心，故②正确．
通过举反例可得③是不正确的．
若 sin(2x1-

π

4

)=sin(2x2-

π

4

)，则有 2x₁-

π

4

=2kπ+2x₂-

π

4

，或 2x₁-

π

4

=2kπ+π-（2x₂-

π

4

），k∈z，
即 x₁-x₂=kπ，或x₁+x₂=kπ+

3π

4

，故④不正确．

解答：解：把x=

5π

12

代入函数得  y=1，为最大值，故①正确．
结合函数y=tanx的图象可得点（

π

2

，0）是函数y=tanx的图象的一个对称中心，故②正确．
③正弦函数在第一象限为增函数，不正确，如390°＞60°，都是第一象限角，但sin390°＜sin60°．
若 sin(2x1-

π

4

)=sin(2x2-

π

4

)，则有  2x₁-

π

4

=2kπ+2x₂-

π

4

，或 2x₁-

π

4

=2kπ+π-（2x₂-

π

4

），k∈z，
∴x₁-x₂=kπ，或x₁+x₂=kπ+

3π

4

，k∈z，故④不正确．
故答案为①②．

点评：本题考查正弦函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，掌握正弦函数的图象和性质，是解题的关键，属于中档题．