Question

3．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且cosB=$\frac{4}{5}$，b=2．
（Ⅰ）当a=$\frac{5}{3}$时，求A；
（Ⅱ）当a+c=2$\sqrt{10}$时，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由cosB=$\frac{4}{5}$，可求sinB=$\frac{3}{5}$，由正弦定理可得sinA=$\frac{1}{2}$，利用A的范围及大边对大角的知识即可求得A的值．
（Ⅱ）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac（1+cosB），利用已知整理可求得ac=10，根据三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为10分）
解：（Ⅰ）∵cosB=$\frac{4}{5}$，∴解得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$，
∴由正弦定理可得：sinA=$\frac{asinB}{b}=\frac{\frac{5}{3}×\frac{3}{5}}{2}=\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，且a＜b，
∴A=$\frac{π}{6}$…5分
（Ⅱ）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac（1+cosB），
∵cosB=$\frac{4}{5}$，b=2，a+c=2$\sqrt{10}$，
∴40-$\frac{18}{5}ac=4$，解得：ac=10．
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×10×\frac{3}{5}=3$…10分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．