Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：对于任何n∈N^*，有a_n=b_n+1-b_n，b_n+2=（1+λ）b_n+1-λb_n（λ为非零常数），且b₁=1，b₂=2．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若b₃是b₆与b₉的等差中项，试求λ的值，并研究：对任意的n∈N^*，b_n是否一定能是数列{b_n}中某两项（不同于b_n）的等差中项，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由b_n+1=（1+λ）b_n-λb_n-1（n≥2，λ≠0）得，b_n+1-b_n=λ（b_n-b_n-1）．所以a_n=λ^n-1．由b_n-b₁=（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），得b_n-b₁=1+λ+…+λ^n-2（n≥2），从而得到数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（2）当λ=1时，b₃不是b₆与b₉的等差中项，不合题意；当λ≠1时，由2b₃=b₆+b₉得λ⁸+λ⁵-2λ²=0，对任意的n∈N^*，b_n是b_n+3与b_n+6的等差中项．由bn+3+bn+6-2bn=

λn-1

1-λ

(2-λ3-λ6)=0，知bn=

bn+3+bn+6

2

，故对任意的n∈N^*，b_n是b_n+3与b_n+6的等差中项．

解答：解：（1）由b_n+1=（1+λ）b_n-λb_n-1（n≥2，λ≠0）得，b_n+1-b_n=λ（b_n-b_n-1）．
又a₁=b₂-b₁=1，λ≠0，a_n≠0．
所以，{a_n}是首项为1，公比为λ的等比数列，a_n=λ^n-1．（5分）
由b_n-b₁=（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），得b_n-b₁=1+λ+…+λ^n-2（n≥2）
所以，当n≥2时，bn=

1+ 1-λn-1 1-λ ，λ≠1 n，λ=1.

．（6分）
上式对n=1显然成立（1分）
（2）当λ=1时，b₃不是b₆与b₉的等差中项，不合题意；．（1分）
当λ≠1时，由2b₃=b₆+b₉得λ⁸+λ⁵-2λ²=0，
由λ≠0得λ⁶+λ³-2=0（可解得λ=-

3	2

）..（2分）
对任意的n∈N^*，b_n是b_n+3与b_n+6的等差中项（2分）
证明：∵bn+3+bn+6-2bn=

λn-1

1-λ

(2-λ3-λ6)=0，∴bn=

bn+3+bn+6

2

，..（3分）
即，对任意的n∈N^*，b_n是b_n+3与b_n+6的等差中项．

点评：本题考查求解数列通项公式的方法和等差中项的性质与证明，解题时要注意递推公式的灵活运用．