Question

定义在R上的函数f（x），满足对任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）如果f（3）=1，f（x-1）＜2，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，试求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）满足对任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）．令x₁=x₂=0，可得f（0）=0，令x₁=x，x₂=-x，结合函数奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数．
（2）若f（x）在[0，+∞）上是增函数，根据奇函数在对称区间上单调性相同，可得f（x）在R上为增函数，结合f（3）=1，可将不等式f（x-1）＜2转化为一个关于x的整式不等式，解不等式可得实数x的取值范围

解答：解：（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=0；
令x₁=x，x₂=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
即f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）∵f（3）=1，
∴f（6）=f（3）+f（3）=2，
∴原不等式化为f（x-1）＜f（6）．
又f（x）在[0，+∞）上是增函数，
f（0）=0且f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
因此x-1＜6，
∴x＜7．
所以实数x的取值范围是（-∞，7）．

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的证明与判断，函数单调性的证明与判断，抽象函数，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．