Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为

6

2

，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证明AE⊥PD，我们可能证明AE⊥面PAD，由已知易得AE⊥PA，我们只要能证明AE⊥AD即可，由于底面ABCD为菱形，故我们可以转化为证明AE⊥BC，由已知易我们不难得到结论．
（2）由EH与平面PAD所成最大角的正切值为

6

2

，我们分析后可得PA的值，由（1）的结论，我们进而可以证明平面PAC⊥平面ABCD，则过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，然后我们解三角形ASO，即可求出二面角E-AF-C的余弦值．

解答：证明：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD．又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．

解：（Ⅱ）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH．
由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，AE=

3

，
所以当AH最短时，∠EHA最大，
即当AH⊥PD时，∠EHA最大．
此时tan∠EHA=

AE

AH

=

3

AH

=

6

2

，
因此AH=

2

．又AD=2，所以∠ADH=45°，
所以PA=2．
因为PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD．
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，
过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE•sin30°=

3

2

，AO=AE•cos30°=

3

2

，
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO•sin45°=

3 2

4

，
又SE=

EO2+SO2

=

3 4 + 9 8

=

30

4

，
在Rt△ESO中，cos∠ESO=

SO

SE

=

3 2 4

30 4

=

15

5

，
即所求二面角的余弦值为

15

5

．

点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，通过解∠AOC所在的三角形求得∠ESO．其解题过程为：作∠ESO→证∠ESO是二面角的平面角→计算∠ESO，简记为“作、证、算”．