题目内容
17.数列{an}中,a1=-$\frac{2}{3}$,当n>1,n∈N*时,Sn+$\frac{1}{{S}_{n}}$=an-2(1)求S1,S2,S3的值;
(2)猜想Sn的表达式,并证明你的猜想.
分析 (1)由Sn+$\frac{1}{{S}_{n}}$=Sn-Sn-1-2可得Sn=-$\frac{1}{{S}_{n-1}+2}$,从而求S1,S2,S3的值;
(2)猜想Sn=-$\frac{n+1}{n+2}$,利用数学归纳法证明即可.
解答 解:(1)S1=a1=-$\frac{2}{3}$,
∵Sn+$\frac{1}{{S}_{n}}$=Sn-Sn-1-2,
∴Sn=-$\frac{1}{{S}_{n-1}+2}$
∴S2=-$\frac{1}{-\frac{2}{3}+2}$=-$\frac{3}{4}$,
S3=-$\frac{1}{-\frac{3}{4}+2}$=-$\frac{4}{5}$;
(2)猜想Sn=-$\frac{n+1}{n+2}$,证明如下,
当n=1,2,3时,Sn=-$\frac{n+1}{n+2}$成立;
假设Sn=-$\frac{n+1}{n+2}$成立,
则Sn+1=-$\frac{1}{{S}_{n}+2}$
=-$\frac{1}{-\frac{n+1}{n+2}+2}$=-$\frac{n+2}{n+3}$=-$\frac{(n+1)+1}{(n+2)+1}$;
故猜想Sn=-$\frac{n+1}{n+2}$成立.
点评 本题考查了数列递推公式的化简与应用及数学归纳法的应用,属于中档题.
练习册系列答案
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7.2014年世界经济形势严峻,某企业为了增强自身竞争力,计划对职工进行技术培训,以提高产品的质量.为了解某车间对技术培训的态度与性别的关系,对该车间所有职工进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表:
(1)用分层抽样的方法在不赞成的职工中抽5人进行调查,其中男职工、女职工各抽取多少人?
(2)在上述抽取的5人中选2人,求至少有一名男职工的概率;
(3)据此资料,判断对技术培训的态度是否与性别有关?并证明你的结论.
附:K2=$\frac{n(ad-bc)2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,
赞成 | 不赞成 | 合计 | |
男职工 | 22 | 8 | 30 |
女职工 | 8 | 12 | 20 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
(2)在上述抽取的5人中选2人,求至少有一名男职工的概率;
(3)据此资料,判断对技术培训的态度是否与性别有关?并证明你的结论.
附:K2=$\frac{n(ad-bc)2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,
P(K2≥k) | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |
5.在区间$[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}]$上随机取一个数x,sinx的值介于$\frac{1}{2}$到1之间的概率是( )
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{2}{π}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |