题目内容
已知函数f(x)=x3-ax2-4x+4a，且a＞0．(1)解关于x的不等式f(x)＞0；
(2)若不等式f(x)≤f(-1)对x≤0恒成立，求f(x)在x∈R上的单调递减区间．
解：(1)f(x)=x3-ax2-4x+4a=x2(x-a)-4(x-a)=(x-a)(x-2)(x+2)＞0
当a＞2时 原不等式解集为{|x＞2或-2＜x＜2
当a=2时 原不等式解集为{x|x＞-2且x≠2}
当0＜a＜2时 原不等式解集为{x|x＞2或-2＜x＜a}
(2)由题意和函数f(x)(x≤0)有最大值f(-1)，
又f(-1)不是端点值．
则f(-1)是f(x)的一个极大值，即f′(-1)=0．
而f′(x)=3x2-2ax-4
由f′(-1)=0 得3+2a-4=0，所以a=
当a=
时，f(x)=x3-
x2-4x+2
f′(x)=3x2-x-4
令f′(x)=0，得x1=-1，x2=
，
列表
X | (-∞,-1) | -1 | (-1, |
| ( |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) |
| 极大值 |
| 极小值 |
|
)
,+∞)
由上表可知当a=
时，f(x)在x=-1处取得极大值
f(x)在[-1，
]上单调递减．
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