题目内容

设 $数学公式$ ，g（x）=ax+5-2a（a＞0）．
（1）求f（x）在x∈[0，1]上的值域；
（2）若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

解：（1）法一：（导数法） $\text{[math]}$ 在x∈[0，1]上恒成立．
∴f（x）在[0，1]上增，
∴f（x）值域[0，1]．
法二： $\text{[math]}$ ，用复合函数求值域．
法三： $\text{[math]}$
用双勾函数求值域．
（2）f（x）值域[0，1]，g（x）=ax+5-2a（a＞0）在x∈[0，1]上的值域[5-2a，5-a]．
由条件，只须[0，1]⊆[5-2a，5-a]．
∴ $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求f（x）的值域问题可用导数法；注意到分母为x²，可分子分母同除以x²，将分母变为关于 $\text{[math]}$ 的二次函数解决；
还可以将分母换元，转化为用双钩函数求最值．
（2）对于任意x₁∈[0，1]，f（x₁）范围由（1）可知，由题意即g（x）的值域包含f（x）的值域，转化为集合的关系问题．
点评：本题考查函数的值域问题，任意性和存在性命题问题，考查对题目的理解和转化能力．

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已知函数f（x）=

（m，n∈R）在x=1处取到极值2．
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（2）设函数g（x）=ax-lnx．若对任意的x₁∈[

，2]，总存在唯一的x₂∈[

，e]（e为自然对数的底），使得g（x₂）=f（x₁），求实数a的取值范围．

已知函数f(x)=

，x∈[-2，-1)

-2，x∈[-1，

（1）判断当x∈[-2，1）时，函数f（x）的单调性，并用定义证明之；
（2）求f（x）的值域
（3）设函数g（x）=ax-2，x∈[-2，2]，若对于任意x₁∈[-2，2]，总存在x₀∈[-2，2]，使g（x₀）=f（x₁）成立，求实数a的取值范围．