Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对于定义域内任意的x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），且当f（x），x＞1时f（x）＜0恒成立．
（1）求f（1）；
（2）证明：函数f（x），f（x）在（0，+∞）是减函数；
（3）若x∈[1，+∞）时，不等式f（

x2+2x+a

x

）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，根据函数f（x）（x∈R，且x＞0），对于定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），我们易构造关于f（1）的方程，解方程即可求出求f（1）．
（2）任取0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，当x＞1时，f（x）＜0恒成立，故f（

x2

x1

）＜0，由此能证明f（x）在（0，+∞）是减函数．
（3）由（2）知函数f（x）在其定义域内是减函数，故当x∈[1，+∞）时，

x2+2x+a

x

＞1恒成立，由此能求出a的范围．

解答：解：（1）∵定义在（0，+∞）上的函数f（x），
对于定义域内任意的x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得f（1）=2f（1），∴f（1）=0．
（2）证明：任取0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
∵当x＞1时，f（x）＜0恒成立，
∴f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁•

x2

x1

）=f（x₁）-f（x₁）-f（

x2

x1

）=-f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）是减函数．
（3）由（2）知函数f（x）在其定义域内是减函数，
当x∈[1，+∞）时，不等式f（

x2+2x+a

x

）＜f（1）恒成立，
即

x2+2x+a

x

＞1恒成立，
∵x≥1时，-x²-x=-（x+

1

2

）²+

1

4

≤-2，
∴a＞-2．
故a的范围是（-2，+∞）．

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的性质，其中（1）的关键是“凑配”思想的应用，（2）的关键是定义法的应用，（3）的关键是等价转化思想的应用．